欧拉的问题

数学家欧拉提出了这样的一个问题：一头猪卖312银币，一只山羊卖113银币，一只绵羊卖1\/2银币。有人用100个银币买了100头牲畜。问猪、山羊、绵羊各几头？

这题有三组答案，都合题意。

①猪5头，山羊42只，绵羊53只

②猪10头，山羊24只，绵羊66只

③猪15头，山羊6只，绵羊79只

设猪x头，山羊y只，绵羊z只。根据题意可以列出两个方程：

x+y+z=100①

312x＋113y+1\/2z＝100 ②

把方程乘以2得7x+8\/3y+z＝200 ③把③-①消去z：

6x+5\/3y=100

y=60-18\/5x ④

因为牲畜的头数不可能是分数，15x一定是整数：设15x=tx=5t

将x代入④：y＝60-18t

将x和y代回①

5t＋60-18t+z=100

z=40+13t

因为y是正数，所以y=60-18t＞0;而t也是正整数，t只能为1，2，3三个值，所以此题有三组答案：

当t=1时{x=5 y=42 z=53}

当t=2时{x=10 y=24 z=66}

当t=3时{x=15 y=6 z=79}

经过检验，三组解答都符合题意。